Makalah matematika Himpunan
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur
kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya
kepada saya sehingga dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul “Aplikasi himpunan
dalam kehidupan sehari-hari”.
Saya menyadari bahwa didalam
pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam
kesempatan ini saya menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.
Saya menyadari bahwa dalam proses
penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara
penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya dengan segala kemampuan dan
pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh
karenanya, saya dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan,
saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi pembaca.
Depok, Desember 2012
Penyusun
Daftar Isi
Kata
Pengantar .............................................................................................. 1
Daftar
Isi .......................................................................................................... 2
BAB
I Pendahuluan ........................................................................................ 3
I.1 Latar Belakang ............................................................................................. 3
I.2 Rumusan Masalah ........................................................................................ 5
I.3 Tujuan .......................................................................................................... 5
BAB
II Pembahasan ....................................................................................... 6
II.A. Definisi himpunan.....................................................................................
6
II.B. Manfaat belajar himpunan dalam
kehidupan sehari-hari...........................
6
II.C. Contoh penerapan soal himpunan
dalam kehidupan sehari-hari................
7
BAB
III Penutup ............................................................................................ 16
III.A. Kesimpulan.............................................................................................
16
III.B. Saran.......................................................................................................
16
Daftar
Pustaka................................................................................................
17
BAB I
PENDAHULUAN
I.1.
LATAR BELAKANG
Pada umumnya, belajar
matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket
dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para
pelajar/siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka
bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari?
Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa manfaat trigonometri?".
Pertanyaan-pertanyaan
seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka.
Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran
mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika
sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai
yang tersulit sekalipun.
Matematika
sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan
mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide
dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika
sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari
Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada
pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan
dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan
sehari-hari.
Dalam
matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap
sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak
salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam
matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.
Himpunan
biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam
kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan
Mahasiswa Ilmu Komunikasi Universitas Gunadarma, kumpulan koran bekas, koleksi
perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya.
Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari
memiliki arti yang sama.
Pengertian
himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika
dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan
titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara
intuitif,. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan
kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai
arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi.
I.2.
RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan
latar belakang tersebut rumusan masalah yang dapat diangkat antara lain sebagai
berikut:
I.2.1. Bagaimana definisi himpunan?
I.2.2. Bagaimana manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-hari?
I.2.3. Bagaimana contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari ?
I.3.
TUJUAN
Tujuan
dari penuliasan makalah ini adalah, sebagai berikut:
I.3.1. Untuk
mengetahui definisi
himpunan.
I.3.2. Untuk
mengetahui manfaat
himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
I.3.3. Untuk
mengetahui contoh
penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
BAB II
PEMBAHASAN
II. A. Definisi Himpunan
Himpunan adalah kumpulan
benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat
didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota
himpunan.
Perhatikan objek yang
berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar
di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di
dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri
karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan
sehari-hari.
Jika kita amati semua
objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat
didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut
dan mana yang bukan.
Himpunan makanan yang
lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh
himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan,
cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu
hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang
belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.
Demikian juga indahnya
sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang
indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi
setiap orang.
Benda atau objek yang
termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan
tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan
seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.
Jenis-jenis Himpunan
1. Himpunan Kosong
Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.
2. Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A
dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
3. Himpunan sama
Definisi : Himpunan A
dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen
yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari
B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A
tidak sama dengan B.
Notasi : A = B <==>
A ⊆ B dan B ⊆ A
Tiga hal yang perlu di
catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1.Urutan elemen di dalam himpunan tidak
penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 =
{1,,3,2}
2.Pengulangan elemen
tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} =
{1}
3.Untuk tiga buah
himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B dan C =
C
(b) Jika A = B, maka B =
A
(c) Jika A = B dan B = C,
maka A = C
II.B.
Manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-sehari
Membahas
mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang
mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari
anak dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita
sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar
dari segala ilmu Matematika.
Dengan mempelajari himpunan,
diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita
mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting
karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1. Membantu setiap
orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus,
tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan
kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan
dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan
mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta
akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta
kesesatan.
6. Mampu melakukan
analisis terhadap suatu kejadian.
II.C.
Contoh penerapan soal
himpunan dalam kehidupan sehari-hari
Contoh penerapan soal
himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu,
mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.
Contoh-contohnya adalah
sebagai berikut:
survei
yang di lakukan PT(ABC) mengenai kebiasaan mahasiswa dalam mengakses informasi
sbb :
400
orang mengakses informasi melalui koran
560
orang mengakses informasi melalui TV
340
orang mengakses informasi melalui internet
205
orang mengakses informasi melalui koran dan TV
175
orang mengakses informasi melalui TV dan Internet
160
orang mengakses informasi melalui koran dan internet
155
orang mengakses informasi melalui ketiganya
pertanyaan:
a.
jika total mahasiswa perguruan tinggi 1100 berapa orang yang tidak mengakses dari ketiga nya?
b.
berapa orang yang tidak mengakses informasi melalui 2 media saja?
c.
berapa orang yang mengakses informasi melalui satu media saja?
Jawab
:
Total
mahasiswa n(S) = 1100
Koran
n(K) = 400
TV
n(TV) = 560
Internet
n(I) = 340
(K
∩ TV) = 205
(K
∩ I) = 160
(TV
∩ I) = 175
(K
∩ TV ∩ I) = 155
(K
915 = 400 + 560 + 340 – 205 – 160 – 175 + 155
Cara
penyelesaian yang mudah bisa dilakukan dengan menggambar diagram venn terlebih
dulu, seperti gambar di bawah ini :
Buat
diagram ven, berupa persegi untuk himpunan semesta S
Di
dalamnya buat tiga lingkaran yang saling beririsan dan beri nama K, TV dan I.
Pada
irisan ketiga lingkaran K ∩ TV ∩ I, tulis 155
Pada
irisan K ∩ TV dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 205 - 155 = 50
Pada
irisan K ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 160 - 155 = 5
Pada
irisan TV ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 175 - 155 = 20
Pada
lingkaran K dikurangi irisan, tulis 400 - (50 + 5 + 155) = 150
Pada
lingkaran TV dikurangi irisan, tulis 560 - (50 + 20 + 155) = 335
Pada
lingkaran I dikurangi irisan, tulis 340 - (5 + 20 + 155) = 150
Pada
bagian luar lingkaran, tulis 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225
Dari
penyelesaian diatas, jawaban dapat disimpulkan seperti di bawah ini :
a]
Yang tidak mengakses ketiga media --> 225 orang
cara
: 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225
b]
Yang mengakses melalui dua media --> 75 orang
cara
: 50 + 20 + 5 = 75
c]
Yang mengakses melalui satu media --> 645 orang
cara
: 150 + 335 + 160 = 645
Syarat
lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih
dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa
Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai
Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak
lulus ada 8 orang, tentukan:
Untuk menjawab
permasalahan diatas dapat dilakukan dengan cara berikut ini:
Data yang diketahui:
- Banyaknya siswa (S) =
50 = n(S)
-Tidak lulus bahasa
inggris (TI) = 15 = n(TI)
-Tidak lulus bahasa
inggris dan matenatika = 8 = n(TI∩TM)
-Siswa yang lulus = 20
= n(TI U TM)’
Yang ditanya :
Jawab:
n(TI U TM) = n(S) -
n(TI UTM)’
= 50 – 8
= 7
n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI
U TM)
8 = 15 + n(TM) –
30
38 = 15 + n(TM)
n(TM) = 23
n(TM) - n(TI∩TM) = 23 –
8
n(TM) saja = 15
n(TI) - n(TI∩TM) = 15 –
8
n(TI) saja = 7
n(TI U TM)’ + n(TI) =
20 + 7
n(TM)' =
27
n(TI U TM)’ + n(TM) =
20 + 15
n(TI)' =
35
Keterangan: - Tidak
lulus bahasa inggris = TI
- Tidak lulus matematika =
TM
BAB III
PENUTUP
III.A. Kesimpulan
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek
atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas
mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
2. Dengan mempelajari Himpunan,
diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan memacu kita agar kita
mampu berpikir secara logis.
3. Contoh penerapan himpunan matematika
sangat banyak dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya untuk menghitung survey
seperti contoh diatas.
III.B. Saran
Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak
manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang
ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena
itu penulis menyarankan agar kita lebih seius dalam mempelajari matematika dan
jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari
karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari
kehidupan kita.
Daftar Pustaka
http://collegerlearn.blogspot.com/2012/06/belajar-himpunan-matematika-diskrit.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
http://susi-deswati.blogspot.com/2012/12/makalah-matematika-himpunan.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar